Помогите пожалуйста решить уравнение - Форум
|
Помогите пожалуйста решить уравнение
| |
| JohnyB | Дата: Пятница, 07.12.2012, 12:43 | Сообщение # 1 |
Группа: Пользователи
Сообщений: 2
Статус: Offline
| Решить Уравнение:
Заранее, Спасибо!
Сообщение отредактировал JohnyB - Пятница, 07.12.2012, 12:45 |
| |
|
|
| Admin | Дата: Пятница, 07.12.2012, 15:38 | Сообщение # 2 |
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| Тут мы имеем дело с уравнением, решение которого сводится к анализу функций (выражений), из которых оно состоит.
Левая часть уравнения состоит из двух радикалов, первый определен для Y Є (-∞; 3], второй для Y Є [1; +∞). Следовательно, ОДЗ нашего уравнения [1; 3]. Первый радикал√(3-Y) на ОДЗ убывает от √2 до 0, второй, √(Y-1) возрастает от 0 до √2. Используя любой из известных вам способов (в т.ч. и с примением производной) легко убедиться, что наибольшее значение функции f(Y) = √(3-Y) + √(Y-1) равно 2 и достигается при Y = 2.
Правая часть уравнения - квадратическая функция, график которой парабола с ветвями, обращенными вверх. Следовательно правая часть достигает своего наименьшего значения в вершине параболы, т. е при Y = -b/(2a) = -(-4)/(2⋅1) = 4/2 =2 и это значение равно 22 - 4⋅2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2.
Столь длинные рассуждения сводятся к следующим выводам:
1) при Y = 2 правая и левая часть уравнения принимают одно и то же значение 2, следовательно Y = 2 решение уравнения.
2) при Y = 2 правая часть принимает свое минимальное значение, а левая - максимальное, следовательно Y = 2 - единственное решение уравнения.
|
| |
|
|
| JohnyB | Дата: Суббота, 08.12.2012, 14:49 | Сообщение # 3 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 2
Статус: Offline
| Спасибо за решение! Но мне надо было решить данное уравнение арифметически, извините, что сразу не сказал... если можно решите пожалуйста арифметически.
|
| |
|
|
| Admin | Дата: Среда, 12.12.2012, 15:54 | Сообщение # 4 |
|
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| Ох и настырный гномик попался...
Больше так не делайте, ладно?
Что з начит решить уравнение "арифметически" я так и не понял. Решить уравнение можно аналитически, геометрически или приближенно.
Еще один способ решения этого уравнения:
Из преидущего способа воспользуемся ОДЗ уравнения. Решая уравнение на отрезкк [1; 3] можно возвести обе его части в квадрат:
^2 %2B 2\sqrt{3 - y}\sqrt{y - 1}x %2B (\sqrt{y - 1})^2 = (y^2 - 4y %2B 6)^2,)
^2,)
 )^2,)
Далее применяем подстановку 
Получим уравнение:
2 + 2t = (3 - t2)2,
2 + 2t = 9 - 6t2 + t4,
t4 - 6t2 - 2t + 7 = 0.
Прежде чем решать полученное уравнение заметим, что обратная подстановка
 будет иметь решения при неотрицательных значениях t, которые не превышают 1 (так как квадрадное уравнение -y2 + 4y - 3 - t = 0, будет иметь неотрицательный дискриминант только при t ≤ 1).
Для уравнения
t4 - 6t2 - 2t + 7 = 0
легко подобрать один корень t1 = 1, разделив его правую часть на двучлен t - 1, получим
t3 + t2 - 5t - 7.
Можно убедиться, что уравнение
t3 + t2 - 5t - 7 = 0
имеет единственный корень между 2 и 3, так как 23 + 22 - 5⋅2 - 7 = -5, а 33 + 32 - 5⋅2 - 7 = 19. Для этого корня обратная подстановка не будет иметь решения.
Для корня t1 = 1 получим:
-y2 + 4y - 3 = 1,
y2 - 4y + 4 = 0,
(y - 2)2 = 0,
y - 2 = 0,
y = 2.
|
| |
|
|
|
