| Kotenok291097 | Дата: Воскресенье, 30.09.2012, 20:44 | Сообщение # 1 |
Группа: Пользователи
Сообщений: 1
Статус: Offline
| Основание AD трапеции ABCD в два раза больше основания BC, точка M - середина боковой стороны CD. В каком отношении отрезок AM делит диагональ BD?
Сообщение отредактировал Kotenok291097 - Воскресенье, 30.09.2012, 20:44 |
| |
|
|
| Admin | Дата: Воскресенье, 30.09.2012, 22:37 | Сообщение # 2 |
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| 
Воистину, правило "зри в корень" не всегда применимо в планиметрии. Иногда приходится взгянуть со стороны...
Итак. ABCD - заданная трапеция BC = 2AD, М - середина боковой стороны CD, т.е. СM = MD, см. рисунок.
Дополним рисунок, проведя прямые, содержащие боковые стороны, до их пересечения в точке S. Так как BC = 2AD, то треугольники Δ ASD и Δ BSC подобны а их соответствующие стороны соотносятся как 2:1. Следовательно, АВ=BS и CD=CS.
Проведем еще одну дополнительную прямую BN || AM. Применив теорему Фалеса к прямым AS и DS, пересекаемым параллельными прямыми BN || AM, получим NM = SN. Последнее равенство можно записать в виде:
CM + CN = CS - CN,
откуда
2CN = CS - CM.
Учитывая, что CS = CD = 2CM, получим
2CN = 2CM - CM = CM = DM.
В свою очередь, NM = CM + CN = 2CN + CN = 3CN.
Получим онтношение:
NM : MD = 3CN : 2CN = 3 : 2.
Применив еще раз теорему Фалеса, в этот раз уже к прямым SD и BD, получим искомое отношение
BO : OD = NM : MD = 3 : 2.
|
| |
|
|
