Заковыристая пирамида. - Форум

[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]

Страница 1 из 1 1

Форум » Помогите решить задачу » Стереометрия » Заковыристая пирамида.

Заковыристая пирамида.

devag Дата: Пятница, 24.02.2012, 14:42 | Сообщение # 1 Группа: Пользователи Сообщений: 55 Статус: Offline Здравствуйте всем! Предлагаю вашему вниманию задачу , которую сам я одолеть не смог ( а очень хочется). Она очень короткая : Дана пирамида у которой непересекающиеся ребра равны между собой и равны соответственно а,в и с. Требуется найти объем такой пирамиды. Понятно , что задача сводится к нахождению высоты этой пирамиды . но сложность для меня в том, что не смог определить местоположение точки на плоскости основания в которую проецируется вершина пирамиды. Надеюсь , что кому-нибудь задача покажется интересной...

Admin Дата: Суббота, 10.03.2012, 23:42 | Сообщение # 2 Группа: Администраторы Сообщений: 375 Статус: Offline Где же вы красоту-то такую откопали?! Ответ ? Надеюсь, вам удалось уже сомому управиться, или решение все еще актуально?

devag Дата: Воскресенье, 11.03.2012, 15:54 | Сообщение # 3 Группа: Пользователи Сообщений: 55 Статус: Offline Остро актуально -до головной боли , когда шарики за ролики... Неуж-то нашли решение? Поздравляю Вас! Поделитесь, пожалуйста, ходом Ваших рассуждений и наглядным решением. С нетерпением жду и , думается мне, не только я один.

Admin Дата: Воскресенье, 11.03.2012, 19:15 | Сообщение # 4 Группа: Администраторы Сообщений: 375 Статус: Offline Прошу прощения, но не могу удержаться от "лирического отступа", (т.е., вступления): Для начала разберемся в условии. Думаю, прилагательное "треугольная" в условии не такое уж лишнее - я, например призадумался. Конечно же, это доказуемо - многогранник, который имеет шесть ребер: 2 по a, 2 по b, 2 по c, и к которому при этом применимо понятие "противоположные ребра" есть не что иное как треугольная. Но умалчивать об этом в условии нет смысла, и так "изюма" в задаче более чем достаточно. Итак. Мы имеем треугольную пирамиду, каждая грань которой, как следует из условия, является треугольником со сторонами a, b и c (т.е. все четыре грани пирамиды - одинаковые треугольники). Признаюсь, первая реакция - желание заменить в условии "объем" на "площадь поверхности" . Пирамида однозначно определена, следовательно решение сущетвует (хотя, конечно, может оказаться, что найти его невозможно). Искать основание высоты я не рискнул, так как вам это не удалось, то и мне может оказаться не под силу. Кстати, все высоты нашей пирмиды одинаковы так же как и грани. Из более конструктивных идей. Так как мы имеем только длины всех ребер, то возникла идея обратиться к векторной алгебре. Одну вершину разместить в начале координат, одно ребро "запустить" вдоль оси (скажем, Ox), а координаты остальных ребер-векторов можно определить через углы треугольников-граней. Более чем уверен, что этот путь даст результат. Есть 2 "но": 1) все-таки "вышка", смешаное произведение и т.д. - не хотелось уходить за пределы школьного курса; 2) первые выкладки показали, что формулы будут громоздкими... Вот эти идеи "лежали" недели две, наконец, пришлось взяться за векторный способ (все, что оставлось), и в ходе "укрощение" сложных выкладок, в нашей пирамиде таки обнаружилось нечто. И, кстати, с векторами-то не слишком связанное.

Admin Дата: Воскресенье, 11.03.2012, 20:21 | Сообщение # 5 Группа: Администраторы Сообщений: 375 Статус: Offline Итак. ABCD - заданная пирамида. По условию BC=AD=a, AC=BD=b, AB=CD=c. Как следствие, ΔABC = ΔBAD = ΔDCB = ΔCDA. Рассмотрим, например, пару ребер AB=CD=c. Пускай Точка M - середина ребра AB, а М1 - середина CD. Отрезки AМ1 и BМ1 являются соответствующими медианами равных треугольников ΔDCB = ΔCDA, проведенными в к стороне CD, следовательно AМ1 = BМ1. Тогда ΔAМ1B является равнобедренным треугольником а его медиана М1М, проведенная к основанию AB является еще и высотой, т.е. М1М⊥AB. Аналогично, CМ = DМ как соответствующие медианы равных треугольников ΔABC = ΔBAD, следовательно, треугольник ΔCМD является равнобедренным треугольником а его медиана М1М, проведенная к основанию CD является высотой, т.е. М1М⊥CD. То есть, отрезок М1М, соединяющий середины противоположных ребер AB и CD является общим перпендикуляром к расходящимся прямым, содержащим эти ребра (расстоянием между этими ребрами!). Длину этого отрезка можно найти по теореме Пифагора, из треугольника ΔAМ1M. Так как AМ12 = BМ12 = CМ2 = DM2 = 0,5a2 + 0,5b2 - 0,25c2 (получить этот результат можно из любого треугольника-грани, например ΔABC, дополнив его до параллелограмма ACBF и используя наше любимое следствие из теоремы косинусов: сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна сумме квадратов всех его сторон), то MМ12 = AМ12 - AМ2 = 0,5a2 + 0,5b2 - 0,25c2 - (0,5c)2 = 0,5a2 + 0,5b2 - 0,5c2. Проделать подобную процедуру можно и с оставшимися парами ребер, но мы остановимся на менее "пафосном" продолжении. Проведем через прямую AB плоскость, параллельную к CD и спроектируем на эту плоскость отрезок CD, параллельным проектированием вдоль MM1. Получим отрезок C1D1 = CD, так как проекция ортогональна, а отрезок CD параллелен к построенной плоскости AC1BD1. Аналогично, через прямую CD проведем плоскость, A1CB1D, параллельную к AB, причем A1B1 = AB - ортогональная проекция AB на эту плоскость, по направлению MM1. Несложно убедится, что четырехугольники A1CB1D и AС1BD1 являются равными прямоугольниками - диагонали равны (в т.ч. и между собой)и в точке пересечения M1 ( M ) делятся пополам. Отрезки AA1, BB1, C1C и D1D параллелны и равны между собой, а также перпендикулярны к плоскостям оснований A1CB1D и С1BD1. Мы получили прямоугольный параллелепипед, содержащий нашу пирамиду его объем состоит из объемов пирамиды ABCD, и пирамид ABDD1, ABCC1, CDAA1, CDBB1. Несложно убедиться, что объем каждой из последних четырех пирамид составляет 1/6 от объема параллелепипеда A1CB1DAС1BD1, тогда объем пирамиды ABCD составит 2/6 = 1/3 объема этого параллелепипеда. Наконец, используя прямоугольные треугольники ΔAD1D и ΔBD1D, учитывая, что D1D2 = M1M2 = 0,5a2 + 0,5b2 - 0,5c2, получим: AD12 = AD2 - D1D2 = a2 - (0,5a2 + 0,5b2 - 0,5c2) = 0,5a2 + 0,5c2 - 0,5b2 и BD12 = BD2 - D1D2 = b2 - (0,5a2 + 0,5b2 - 0,5c2) = 0,5b2 + 0,5c2 - 0,5a2. и .

devag Дата: Понедельник, 12.03.2012, 10:29 | Сообщение # 6 Группа: Пользователи Сообщений: 55 Статус: Offline Аплодирую Вам стоя за Ваше терпение , целеустремленность и оригинальность развития идеи. Мне же необходимо попытаться проследить за ходом Ваших рассуждений и привести мысли в порядок, а для этого понадобится некоторое время.

Admin Дата: Понедельник, 19.03.2012, 17:02 | Сообщение # 7 Группа: Администраторы Сообщений: 375 Статус: Offline Спустя несколько часов после публикации своего "героического" решения я смеялся над ним до слез... Представьте себе ситуацию: у нас есть три положительных числа a, b, c, удовлетворяющие неравенствам треугольника (a+b>c, a+c>b, b+c>a). Вопрос: можно ли построить прмоугольный параллелепипед у которого диагонали соседних граней будут равны соответственно a, b и c? Ответ: можно, причем единственный. Действительно, числа a, b и c единственным способом определяют треугольник, который образуют пересекающиеся диагонали трех различных соседних граней параллелепипеда, а его ребра p, q, r, выходящие из общей вершины этих граней однозначно определятся тремя равенствами теоремы Пифагора: p2+q2=a2; p2+r2=b2; q2+r2=c2. Из последних трех равенств какраз и получим p=√(0,5a2+0,5b2-0,5c2) q=√(0,5a2+0,5c2-0,5b2) p=√(0,5b2+0,5c2-0,5a2) Думаю, ход мыслей понятен - я специально оставил те же обозначения... Теперь попробуем в наше параллелепипеде построить по паре не параллельных диагоналей для каждых двух противоположных граней, так, чтобы каждые три из проведенных диагоналей сходились в одной вершине (второй рисунок из моего решения вполне подходит). Так как диагонали прямоугольника равны, то внутри параллелепипеда образуется пирамида, удовлетворяющая условию задачи, с которого началась эта тема. Сравните изложенную тут идею с решением выше, и можете смеяться. P.S. Предполагаю что автор "увидел" задачу именно "с этого места". Вадим, если не затруднит, поделитесь координатами первоисточника.

devag Дата: Вторник, 20.03.2012, 07:03 | Сообщение # 8 Группа: Пользователи Сообщений: 55 Статус: Offline Уважаемый,Admin, не смотря на Ваши рекомендации , я не то что смеяться , но даже улыбнуться не посмею по поводу решения этой задачи. Не перестаю восхищаться, в Вашем лице ,возможностями человеческой мысли. А что касаемо "координат первоисточника" , то они не определены. Задачу на засыпку, видимо в собственной интерпритации, приподнес ученик 10 класса СШ.

Admin Дата: Воскресенье, 03.06.2012, 16:22 | Сообщение # 9 Группа: Администраторы Сообщений: 375 Статус: Offline Оказывается, мы не первые. Еще в 2001 опубликована формула для нахождения объема треугольной пирамиды по заданным ребрам. Случайно нашел публикацию с этой-же задачей. Смотрите тут.

Форум » Помогите решить задачу » Стереометрия » Заковыристая пирамида.
Страница 1 из 1 1	Главная страница форумаПомогите решить задачу     Арифметические и алгебраические выражения     Алгебраические уравнения и неравенства     Логарифмы, логарифмические и показательные уравнения и неравенства     Тригонометрия     Планиметрия     Стереометрия     Математический анализ     Теория вероятностей     Олимпиады: числа, многочлены, мнжества, комбинаторика     Олимпиадная геометрия     Комбинаторика     Тригонометрические уравнения и неравенства     Гостевой - комбинаторика и теория вероятностей
	Поиск: