треугольник и окружность - Форум
|
треугольник и окружность
| |
| devag | Дата: Среда, 23.11.2011, 08:44 | Сообщение # 1 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 55
Статус: Offline
| Дан тр-к АВС, на стороне АВ, как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны ВС и АС в точ. Е и D соответственно.
Найти угол DВС, если известно, что SABC/SDCE=4/1.
В этой задаче меня интересует лишь вопрос доказательства того, что (АВ)ІІ(DE), из чего последует вывод о подобии указанных треугольников, а дальше все пойдет как по маслу.
|
| |
|
|
| Admin | Дата: Среда, 23.11.2011, 16:57 | Сообщение # 2 |
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| Позвольте испортить Вам "масло" следующим рисунком:
|
| |
|
|
| devag | Дата: Среда, 23.11.2011, 17:28 | Сообщение # 3 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 55
Статус: Offline
| И вот так всегда- бутерброд маслом вниз. И какой же выход? А то ведь испорчено не только оно, но и настроение.
Сообщение отредактировал devag - Среда, 23.11.2011, 17:29 |
| |
|
|
| Admin | Дата: Среда, 23.11.2011, 17:37 | Сообщение # 4 |
|
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| За настроение извините, нечаянно...
|
| |
|
|
| Admin | Дата: Среда, 23.11.2011, 17:50 | Сообщение # 5 |
|
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| А угол-то равен 30o!
Начало танца - перпендикуляность AC и BD, так как вписанный угол  ADB опирается на диаметр.
Но это использовать будем потом. То есть, угол DBC найдем из прямоугольного треугольника ΔBDC (см. рисунок).
А решать задачу будем, используя свойство отрезков секущей и касательной:
СF2 = CD·CA,
но
СF2 = CE·CB,
следовательно,
CD·CA = CE·CB.
Теперь используем условие:
SΔABC/SΔDCE=4/1,
или
SΔABC = 4SΔDCE,
или
0,5·CA·CB·sinC= 4·0,5·CD·CE·sin C,
откуда
CA·CB = 4·CD·CE.
В последнее равенство подставим, например, CA = (CE·CB)/CD, найденное из полученного ранее равенства с отрезками секущих.
Получим
CB·(CE·CB)/CD = 4·CD·CE.
Разделив последнее равенство на CE и умножив на CD, приходим к выводу:
CB2 = 4·CD2, или же CB = 2CD.
И, наконец, в прямоугольном треугольнике ΔBDC гипотенуза CB вдвое больше катета CD, противолежащего острому углу DBC, следовательно, этот угол равен 30o.
|
| |
|
|
| devag | Дата: Четверг, 24.11.2011, 10:00 | Сообщение # 6 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 55
Статус: Offline
| Вот это клаасс , просто мастер-класс! Достойнейший пример того, как общеизвестные свойства соединять воедино. Спасибо большое. А задача, на мой взгляд. емкая и интересная , не так ли?  Добавлено (24.11.2011, 10:00)
---------------------------------------------
И еще. Мое интуитивное предположение о подобии , рассматриваемых треугольников подтвердилось. Т.к , проведя хорду АЕ легко доказать , что СЕ=1/2 АС. Ну и хорда DE равна радиусу окружности, т.к опирающийся на нее центральный угол DOE= 60°, т.е DE=1/2 AB. Получили треугольники с пропорциональными сторонами, что является свидетельством их подобия (К=1/2)
Сообщение отредактировал devag - Четверг, 24.11.2011, 07:19 |
| |
|
|
| Admin | Дата: Четверг, 24.11.2011, 15:48 | Сообщение # 7 |
|
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| У меня было такое же "предчуствие"...
Но получив CB2 = 4·CD2, и поняв, что задача уже решена, успокоился...
А можно было тем же способом получить CA2 = 4·CE2, (CA = 2CE, ну и CB = 2CD из предыдущего равенства)
что уже доказывало подобие треугольников ΔABC  ΔEDC, так как у них общий угол С
И даже это чересчур.
Из свойства отрезков секущей и касательной:
CD·CA = СF2 = CE·CB,
Пилучим пропорциональность сторон
CD/CB = CE/CA, значит ΔABC ΔEDC, так как у них общий угол С.
А далее - "масло"  .
Кстати, спасибо, что сразу сознались, что не получается доказать парраллельность, а то я бы тоже на этом метсте "потоптался".
А так сработала схема "не можешь доказать - попробуй опровергнуть".
Но задачка, действительно, занимательная.
И, обратите внимание, из нашего условия получается, что С = 60о.
Итак, немного обобщимся.
Если мы имеем ΔАВС, на стороне АВ которого, как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны ВС и АС в точ. Е и D соответственно,
то ΔABC ΔEDC, с коэффициентом подобия, равным косинусу угла С.
|
| |
|
|
| devag | Дата: Четверг, 24.11.2011, 17:29 | Сообщение # 8 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 55
Статус: Offline
| Согласен, Ваше итоговое заключение может оказаться полезным. Благодарю за содержательный диалог. Всего доброго! 
|
| |
|
|
| Admin | Дата: Четверг, 24.11.2011, 17:48 | Сообщение # 9 |
|
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| И Вам спасибо. Успехов!
|
| |
|
|
|
