В остроугольном тр-ке АВС из вершин А и С проведены высоты АД и СЕ на стороны ВС и АВ, известно : площадь тр. АВС=18, площадь тр. ВДЕ=2 , ДЕ=2sqrt2. Требуется опр-ть радиус описанной окр. для тр-ка АВС
Задачка как раз "в пору". В одной из наших решалась задача, с использованием нужного тут свойства. Это свойство формулируется следующим образом: "Основания высот проведенных из двух вершин остроугольного треугольника образуют с оставшейся вершиной треугольник, подобный заданному." Добавим рисуночек для визуализации нужных нам обозначений.
По упомянутому свойству в нашем случае треугольник DВЕ подобен треугольнику АВС. Хотя для нашей задачи важен не только сам этот факт, но используемое при его доказательстве подобие прямоугольных треугольников СЕВ и АDВ дающее нам возможность утверждать, что коэффициент подобия DВЕ к АВС равен косинусу угла B.
Далее воспользуемся заданными площадями DВЕ и АВС и тем фактом, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их линейных элементов. Так как площадь DВЕ в девять раз меньше площади АВС, то АС=3DЕ и cos В = 1/3. Несложно из косинуса острого угла В получить его синус . Ну а .
Наконец, применив концовку теоремы синусов, которая утверждает, что отношение каждой из сторон треугольника к синусу противоположного угла равно диаметру описанной окружности, получим
Спасибо, приятная задачка. Скажем так, хорошая комплексная конкурсная задача повышенной сложности.
