Бином - Форум
|
Бином
| |
| Гость | Дата: Вторник, 21.12.2010, 21:01 | Сообщение # 1 |
|
Группа: Гости
| помогите пожалуйста с биномом! Сумма всех биномиальных коэффициентов с нечетными номерами в разложении (ax+1/x^1/4)^n равна 512. Определить слагаемое, не содержащее x. Заранее спасибо!
|
| |
|
|
| Admin | Дата: Вторник, 21.12.2010, 21:48 | Сообщение # 2 |
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| Цитата Сумма всех биномиальных коэффициентов с нечетными номерами
^{10 - 8}\cdot \left(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\right)^8 = 45 a^2 .)
|
| |
|
|
| safonceva | Дата: Суббота, 09.11.2013, 01:54 | Сообщение # 3 |
Группа: Пользователи
Сообщений: 2
Статус: Offline
| Доброй ночи))) Если Вас не затруднит, помогите престарелой блондинке разобраться с коэффициентами бинома.
Необходимо найти сумму коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома (x+y)n, если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена. Заранее,спасибо.
P.S. Я, честно, пыталась разобраться сама, не получилось(((
|
| |
|
|
| Admin | Дата: Воскресенье, 10.11.2013, 23:28 | Сообщение # 4 |
|
Группа: Администраторы
Сообщений: 375
Статус: Offline
| Для начала хотелось бы заметить, что мы помогаем посетителям решать задачи невзирая на их цвет волос, возраст и половую принадлежность 
Теперь о задаче. Надеюсь, в поисках решения вы уже успели ознакомиться с формулой бинома в любом справочнике, или хотя-бы на Википедии.
Для чего людям нужен бином Ньютона? Например, для того, чтобы записать (x+y)6 в виде суммы, человеку незнакомому с формулой бинома придется умножать x+y на x+y, еще раз на x+y, и т. д., сводить подобные слагаемые. Если он нигде не ошибется, то потратив 5-10 минут времени и лист бумаги придет к равенству
(x+y)6=x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.
Человек, владеющей формулой бинома Ньютона, запишет то же равенство в одну строчку за считанные секунды.
Кто такие биномиальные коэффициенты, думаю, объяснять не нужно. В нашем примере они составляют последовательность:
1; 6; 15; 20; 15; 6; 1.
Для их вычисления не обязательно пользоваться "непонятной" формулой Сnk=n!/((n-k)!*k!), k=0,1,...,n. Есть более наглядный способ "пощупать" их численные значения именуемый треугольником Паскаля:
В этой табличке в первом столбце и первой строчке записаны единицы, остальные числа получаются сложением числа слева и числа сверху. Коэффициенты бинома n-ной степени читаются по диагонали от n+1 -ой единицы первого столбца до n+1 единицы первой строки.
Ой. Кажись проболтался на первом же примере. Смотрите, для бинома шестой степени третий коэффициент 15 ровно на 9 больше от второго, который равен 6. Набор 1; 6; 15; 20; 15; 6; 1 - это и есть последовательность коэффициентов бинома из нашей задачи. Сумма коэффициентов на нечетных местах 1+15+15+1=32, впрочем, как и сумма коэффициентов на четных 6+20+6=32 (эти суммы равны не только при n=6, но и при любом другом значении степени). Это и есть ответ к вашей задачи.
Теперь попробуем изобразить "более солидное" решение. Второй коэффициент бинома равен Сn1=n в биноме любой степени n, а третий - Сn2=n(n-1)/2. По условию задачи получим уравнение для определения степени бинома:
n+9=n(n-1)/2,
n2-3n-18=0,
которое имеет корни -3 и 6. Так как порядок члена разложения бинома не бывает отрицательным, то n=6. Кроме нашего наблюдения о равенстве сумм коэффициентов с четными и нечетными номерами (которое является доказуемым и давно доказанным свойством биномиальных коэффициентов) нам нужен еще один факт. Если в формулу бинома подставить x=1 и y=1, то в разложении получаем сумму всех его коэффициентов, а вместо (x+y)n получим (1+1)n=2n еще одно свойство биномиальных коэффициентов: сумма всех коэффициентов бинома n-ой степени равна 2n. В нашем случае n=6, сумма всех коэффициентов равна 26=64, а сумма коэффициентов на нечетных местах равна ее половине, т.е. 32.
P.S. Если у вас действительно возникло желание похвастаться цветом своих волос , приглашаю присоединиться к группе сайта на vk.
|
| |
|
|
| safonceva | Дата: Пятница, 15.11.2013, 10:12 | Сообщение # 5 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 2
Статус: Offline
| И снова, здравствуйте!! Огромное Вам спасибо, за такое понятное и доступное разъяснение. Эту задачу я решила той же ночью, решила по подобию, но не совсем поняла ее решение и не была уверена в правильности. И, Вы, совершенно правы, я использовала ту самую "непонятную"
формулу Сnk=n!/((n-k)!*k!), k=0,1,...,n. Ответ у меня так же совпадает с Вашим. Но, главное, Вы так мне все разложили по полочкам (особенно треугольник Паскаля), что я даже ПОНЯЛА))) Еще раз, спасибо Вам, за то что тратите на нас - недоучек свое время.
P.S. А престарелая блондинка - это скорее возраст))) Стыдно признаваться, что дожив до своих лет, я только по наслышке знала, что есть такой бином Ньютона, а тут пришлось срочно разбираться))) И на сайте vk меня нет)))
|
| |
|
|
|
